解读AM（振幅调制）合成

在《解读模拟合成器『8』--调制器》中，我们讲到了调制的概念，但在那一讲中讲的调制都限制在20Hz这种低频调制的范围内，我们这一讲就说说频率更高的调制。用更高的频率来调制发声源、VCA（压控放大器）、滤波器，这就进入了一个全新的领域：数字合成。

上一讲说到了，当调制源使用更高的频率调制VCA（压控放大器）的振幅时，就称为振幅调制（Amplitude Modulation），简称AM，振幅调制无法使用浅显的语言来形容，我们需要借助数学的力量，向您展示。如果您有初中的数学水平，那么就不要放弃，这些数学真的是很有意思。

请看等式1：

（信号1）

这是一个非常简单的余弦波形，他表示了一个瞬时振幅。（为什么使用余弦而不是正弦做例子呢？因为他们都是完全一样的波形，只是相位有些差别，最主要的是余弦在演算时更为简便）等式1中的t表示时间，a表示振幅，w表示波形的频率。

再看等式2：

（信号2）

与等式1同为余弦波形，但振幅和频率都改变了。

我们假设振幅a1是振幅a2的一半，w1比w2多出一半，也就是说如果w1是300Hz，那么w2就是200Hz。请看图示1（Figure1）和图示3（Figure3），分别是等式1和等式2表示的波形。而图示2（Figure2）和图示4（Figure4）表示了两个波形的谐波频谱。





下面让我们看看两个波形混合后的情况，像图示5（Figure5）那样，两个波形同时进入调音台混合，得出了图示6（Figure6）的波形。混合的波形只是将波形的振幅简单的相加。图示7（Figure7）为混合后波形的谐波频谱，其中完全保留了信号1和信号2的频谱。



下面我们将图示5（Figure5）的调音台换成VCA（压控放大器），如图示8（Figure8）那样，保持信号1和信号2的波形不变，只是我们不是将他们简单的混合，而是使用信号2来调制信号1的振幅，这时的信号2就变成了调制器，信号1称为载波器。



使用信号2的波形，来调制信号1波形的振幅，使用等式写出来就是下面的等式3：



通过等式2我们已经知道A2的波形，所以我们再将等式2带入等式3，就是下面的等式4：



再将a1+a2提出来，就成了等式5：



注意等式5加号的后面部分，是两个余弦相乘，这做起来真是非常困难，不过有一个被证明了的数学公理可以派上用场（这可能是在高中时学的，如果不出意外的话你应该全忘了），cosXcosY可以写成cos（X+Y）+cos（X-Y）的形式，对于等式5来说，可以写成以下等式6的形式，这可以看做是振幅调制的结果：



再注意看等式5加号前面部分，其实就是信号1的波形。等式6的两个加号连接了三个式子，每个式子代表了一个波形，那么我们可以说振幅调制的结果就是1个载波器的波形+2个均为一半振幅的调制器的波形，我们称这两个为调制器振幅一半的波形为加信号和减信号。

请看图示9（Figure9），就是通过等式6所示的振幅调制形成的波形，他显然与图示6（Figure6）中使用两个波形简单叠加形成的波形复杂了很多。

图示10（Figure10）显示了振幅调制后的谐波频谱，你发现频谱中只有载波器、加信号和减信号，调制器的信号完全消失了，而加信号和减信号的振幅只有调制器振幅的一半，这显然证实了等式6是完全正确的。



好了，以上就是振幅调制的所有数学理论基础，并不难的对吧？下面我们来看看AM在声音制作中的作用，也许你会问为什么合成器都具有振幅调制的能力呢？假设调制器的频率固定是100Hz，而我们在合成器中按下不同的琴键，也就是使用了不同频率的载波器，会发生什么呢？

第一种情况：载波器和调制器的频率完全一致，都是100Hz。那么振幅调制后的结果是出现了3个频率的声音，0Hz、100Hz、200Hz（通过等式6就可以算出）。你可能天真的以为这个减信号产生的0Hz的频率完全没有用，但是虽然他没有频率，他还是有振幅的（是调制器振幅的一半），他使信号产生了DC（直流）偏移（Direct Current Offset），作用于波形的结果就是有大量波形位于X轴的上面，DC偏移作用于其他模块（比如滤波器、放大器）时会产生更多变化，不过这不在本文的讨论范围之内了。见图示11（Figure11）



除了0Hz，还有另外的两个信号：载波器的100Hz和加信号的200Hz，加信号整整比载波器高了1个八度，所以声音会比较“甜”。这种情况可以总结为：输出了3个信号，分别是载波器频率的0%、100%、200%。

第二种情况：我们再弹一个高点的音，使载波器频率达到200Hz，而调制器不变还是100Hz。那么加信号和减信号就分别是300Hz和100Hz，减信号几乎比载波器低了一个八度，加信号是减信号的3倍，但是他们发出的声音都盖不过载波器的200Hz。这种情况可以总结为：输出了3个信号，分别是载波器频率的50%、100%、150%。

第三种情况：下面我们找一个不是整百频率的音作为载波器来试试，比如371Hz，那么加信号和减信号就分别为471Hz和271Hz（调制器还是100Hz不变的情况下），这三个音的频率之间都不成整数比，分别是载波器频率的73%、100%、127%。

实际上大多数的音符都不是整百整十的频率，像前两种情况在音乐中基本上是不存在的（没人使用100或200Hz整的音），所以使用振幅调制最多是应用在这些声音上。这时的声音是怎么样的呢？

第四种情况：载波器400Hz，调制器200Hz，那么加信号和减信号就分别是600Hz和200Hz，输出的3个信号分别是载波器频率的50%、100%、150%。

再返回看第二种情况，载波器200Hz，调制器100Hz，那么加信号和减信号就分别是300Hz和100Hz，输出的3个信号分别是载波器频率的50%、100%、150%。

发现什么了吗？两种情况下，载波器与调制器的频率都是2：1的关系，最后输出信号的频率比也是一样的！也就是说不同载波器和调制器频率下，有可能使输出信号波形形状完全一样（只是频率比例不同）。

下面我告诉你振幅调制的真正作用：只使用一个震荡器发出一个波形，经过调制产生更多谐波更复杂的震荡器无法得到的新波形，也就是新的声音。

比如载波器和调制器都是带有一个基波和一个谐波的信号，将他们做振幅调制，会出现一共8个新频率的谐波，这8个新的谐波被称为边带（side bands），见图示12（Figure12）。如果调制器和载波器的波形为2个基波和2个谐波的信号，那么就有18个边带，见图示13（Figure13）。4个基波和4个谐波则会产生多达32个边带。（太多了，不做图了）





这也就是大家都使用方波和锯齿波作为载波器和调制器波形的原因，锯齿波带有所有一系列常规的谐波，比如一个100Hz的方波就带有100Hz、200Hz、300Hz、400Hz……等等一系列谐波的成分，而一个75Hz的锯齿波则带有75Hz、150Hz、225Hz……等等一系列谐波。那么我们使用75Hz的锯齿波作为调制器去调制100Hz的锯齿波会发生什么？

载波器和调制器的基波首先互相作用，产生25Hz、100Hz、175Hz的信号，而他们的二次谐波再互相作用产生-50Hz、100Hz、250Hz的信号（在这里-50Hz的信号也会发出声音，在你听起来是和50Hz一样的），他们的三次谐波再互相作用产生125Hz、100Hz、325Hz的信号，之后是四次谐波、五次谐波、六次谐波，子子孙孙无穷匮也。

你以为这就完了？还差的多呢！载波器的二次谐波还会与调制器的所有次数的谐波起作用产生信号，之后还有载波器的三次谐波，四次谐波，五次谐波……………………

有一些互相作用而产生的信号非常微弱，可以忽略不计，但是调制后产生的波形还是非常复杂的，但同时也非常悦耳，谐波越丰富，声音就越好听。而且产生的这个新的声音还可以进入合成器的其他模块继续做处理。

以上所说的所有情况都是在完美的VCA下得到的，但是真实的VCA不会将所有的频率都输出出来，最好的VCA设备也达不到，所以调制后输出的声音与实际理论计算出的声音会稍有不同。

环行调制：

环行调制是振幅调制的一个特殊情况，而且他只能作用于载波器和调制器产生0伏信号时。大部分的环行调制都是AC-coupled式的，这意味着在调制之前，DC偏移将被消除掉，但载波器和调制器的自身的频率也无法输出了。还有一种DC-coupled式的环行调制，可以使载波器和调制器的自身的频率也进入输出，有少部分合成器同时提供AC-coupled和DC-coupled，比如ARP 2600。

本文根据《Sound on Sound》杂志的《Synth secrets PART 11：Amplitude Modulation》编译