解读FM合成器『7』--边带的振幅

OK经过前面的学习，我们对FM的合成方法基本上有了大致的了解了，但是你想在FM合成器（FM7或者是YAMAHA的DX系列）或是模块化的模拟合成器上弄出点好听的音色来，远比弄出一些奇怪的噪音要难的多。因为我们还不了解边带和载波器之间的关系，这一讲我要告诉你如何控制边带的振幅，这非常有趣，好了咱们开始吧！

我们已经知道FM信号里边带的频率是如何分布的了（前面讲过的），复习一下，是载波器加或减去整数倍的调制器频率，见式子1：

式子1：

我们再引入一个新的概念，就是载波器频率与调制器频率的比值，载波器是Carrier，调制器是Modulator，所以我们简称为C：M比率。这个理解起来很简单，比如载波器是100Hz，调制器是200Hz，那么C：M比率就是1：2。

那么我们再看式子1，不管载波器的频率是多少，向上排列的边带就是C+M、C+2M、C+3M、C+4M……，向下排列的边带就是C-M、C-2M、C-3M、C-4M……。

假设C：M比率是1：1，那么也就是说载波器是1，向上的边带分别是2、3、4……，向下的边带就是0、-1、-2、-3、-4……。我们给一个具体的数值，比如载波器和调制器都是100Hz（C：M比率就是1：1），向上的边带就是200Hz、300Hz、400Hz……。这就是一个理想的100Hz的波形的谐波级数，换句话说1：1的C：M比率产生了一个谐波级数不管载波器的频率是多少。

但是向下的边带又是怎样的呢？应该是0Hz、-100Hz、-200Hz、-300Hz……。左右边带频率的位置都一样，而且声相相反，我们又知道异相信号会互相抵消，见下图。所以1：1的比率会造成100Hz与-100Hz抵消，200Hz与-200Hz抵消，一直抵消下去。那我们可怎么计算边带的振幅呢？



使用贝塞尔函数（Bessel Functions）！！

贝塞尔函数是特殊函数中应用最广泛的一种函数（就像我们熟知的π=3.1415926一样），他在理论物理研究、应用数学、大气科学以及无线电等工程领域都有广泛的应用（如果您想详细了解贝塞尔函数，建议您拜读奚定平写的《贝塞尔函数》一书），在FM领域贝塞尔函数也非常重要。如果咱们知道了调制指数，你就可以通过贝塞尔函数计算出任何频谱成分的振幅。

贝塞尔函数看起来有些难度，不过我还是希望你能坚持看完，最好不要跳过这些有趣（还是恐怖？）的数学知识。

我们定义载波器（简称为C）为你调制的信号的零点成分，那么C+M和C-M就是第一成分，C+2M和C-2M就是第二成分，C+3M和C-3M以此类推。现在我可以告诉你每对边带的振幅就可以用贝塞尔函数的n值计算，使用下面的式子2：

式子2：

J（n）（β）就是当调制指数为β时的第n个贝塞尔函数，k是从0到正无穷的整数，k后面的感叹号表示k的阶乘（阶乘的意思就是假如k=3，那么k！=3X2X1=6，当k=5时，k！=5X4X3X2X1=120，注意0！≠0，而是=1），Σ表示k从0开始取值，一直加到k=正无穷时的值的和。别看他这么复杂，其实在你使用FM合成器时你无时无刻不在使用着这个式子，在你使用模拟合成器的交叉调制（Cross Modulation）时也是这个式子在起作用，实际上交叉调制就是频率调制的另一个名字。

我们还是使用贝塞尔函数计算振幅吧，假设调制指数β为0.1，那么要计算载波器零点成分的振幅，n就等于0，之后我们要分、分步计算，先把k作为0带入（见式子3），再计算第二部分的数值k就代为1（见式子4）。

式子3：

式子4：

当然你还可以继续计算第三部分（k=2）第四部分（k=3）等的振幅，那么你会发现数值越来越小，可以说是非常小了，按理说我们要一直算到k等于正无穷时才可以，显然第三部分后面的微小数值我们都可以省略不算了。我们将第一部分、第二部分、第三部分相加，最后的结果就是调制指数为0.1时，载波器零点成分的振幅，振幅的数值近似等于1。

OK我们继续计算边带的振幅，这时n就要等于1了，调制指数不变依然是0.1，之后分步计算，先让k=0计算出一个数值，然后计算k=1、k=2……时的数值，最后将他们相加，就得出了C+M和C-M的边带。之后重复以上的步骤，只不过n变成了2，得出的是C+2M和C-2M的边带。一直增加n的数值计算下去。如果你有耐心你就算下去吧，直到地球爆炸……。

数学家不容易当吧，按照上面的做法真的是要累死，幸好我们有电脑啊！微软的Excel可以帮助我们计算不同调制指数下的贝塞尔函数。你可以看看下面几个不同调制指数下使用Excel制作出的图片，深蓝色是零点成分的振幅，绿色是周围边带的振幅。

调制指数为0时的振幅（自然没有边带产生）：



调制指数为0.1时的振幅：



调制指数为0.5时的振幅：



调制指数为1时的振幅：



调制指数为2时的振幅：



调制指数为5时的振幅：



注意看上图，调制指数为5时，零点成分变成负的了，就是说那部分的声音反相了。

再看一眼上面在1：1的CM比下调制指数为1时的振幅。载波器的振幅，也就是零点成分基本上保留了他原始的高度。载波器右侧的振幅是2C、3C、4C和5C的谐波级数，它的左侧的第一个振幅是一个重要成分，这里是0Hz点（C是100Hz，M也是100Hz，所以C-M=0Hz，你可以把他当作是DC直流电点，因为在这一点震荡频率为零），在这个0点之后左侧分别是-C、-2C和-3C，那么他们就相当于反相位的C、2C和3C，请看下图（Figure8）：



正反频率可以表示为 --> 正频率 + 反相位的负的负频率（或者说减去负频率） = 最后结果

如果我们忽略DC直流电（震荡频率为零的那个点），最后结果里的频谱包含了载波器的所有泛音。（只有1：1的CM比率是这样的），看最后结果的图像就像1/n谐波级数，他听起来就像锯齿波。

我们再来讨论当CM比率为1：2调制指数为1时的情况，这时载波器左右的边带分别就是C、3C、5C、7C……和-C、-3C、-5C、-7C……。他的图像和1：1时差不多，这时的声音听起来就像方波。

那么当CM比为1：3、1：4这些整数的时候呢？1：3时边带分别是4C、7C、10C……和-2C、-5C、-8C……，1：4时则是5C、9C、11C……和-3C、-7C、-11C……。声音听起来都近似于方波。

顺便解释一下上一讲里留的一个“扣子”，为什么在3600Hz的带宽下有24个特殊成分，信号里有10个右侧边带，1个载波器，1个可以忽略的左侧边带（DC直流电点）和12个左侧边带，一共就是24个了。

本文参考Sound On Sound的《Synth secrets--PART 13: MORE ON FREQUENCY MODULATION》一文编译，有说的不对的翻译的不准确的望您指出